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\begin{document}
ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2026

LUNDI 13 AVRIL 2026\\
08h00-12h00\\
FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures\\
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

\section*{COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES}
(Durée : 4 heures)\\
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Le sujet explore certains modèles simplifiés de matériaux ferromagnétiques. L'idée générale est de représenter le matériau comme une collection de petits aimants qui peuvent prendre les valeurs +1 ou -1, et dont les interactions sont décrites par une fonction d'énergie. Le système occupe une configuration donnée avec une probabilité proportionnelle à l'exponentielle de cette fonction d'énergie. Certains paramètres du problème peuvent être reliés à la température par exemple, et on étudie les propriétés du système en fonction de ces paramètres.\\
Le sujet se décompose en trois parties. Même si ce n'est pas toujours mentionné, il est bien sûr tout à fait acceptable, pour répondre à une question, d'utiliser les résultats de questions précédentes.\\
On note \(\mathbb{R}\) l'ensemble des nombres réels et \(\mathbb{N}^{*}\) l'ensemble des entiers strictement positifs. On fixe, pour toutes les parties du sujet, un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On note \(P[A]\) la probabilité d'un événement \(A \in \mathscr{A}\), et \(E[X]\) l'espérance d'une variable aléatoire \(X\) sur \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) à valeurs dans un sous-ensemble fini de \(\mathbb{R}\).\\
Si \(x=\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)\) et \(y=\left(y_{1}, \ldots, y_{d}\right)\) sont des éléments de \(\mathbb{R}^{d}\), on note

\[
x \cdot y=\sum_{i=1}^{d} x_{i} y_{i}
\]

leur produit scalaire. On dit qu'une fonction \(f: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}\) est convexe si pour tout \(\alpha \in[0,1]\) et tous \(x, y \in \mathbb{R}^{d}\), on a

\[
f(\alpha x+(1-\alpha) y) \leqslant \alpha f(x)+(1-\alpha) f(y) .
\]

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on définit

\[
\operatorname{ch}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{sh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{th}(x)=\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)} .
\]

On rappelle que lorsque \(n \in \mathbb{N}^{*}\) tend vers l'infini, on a l'équivalence asymptotique

\[
n!\sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} .
\]

\section*{Première partie}
On fixe \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans un sous-ensemble fini de \(\mathbb{R}^{d}\). On note \(X_{1}, X_{2} \ldots, X_{d}\) les coordonnées de \(X\). On définit l'application

\[
\phi:\left\{\begin{aligned}
\mathbb{R}^{d} & \rightarrow \mathbb{R} \\
\lambda & \mapsto \ln E\left[e^{\lambda \cdot X}\right] .
\end{aligned}\right.
\]

Plus explicitement, en notant \(\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{d}\right)\) les coordonnées de \(\lambda\), on a donc

\[
\phi(\lambda)=\ln E\left[\exp \left(\sum_{i=1}^{d} \lambda_{i} X_{i}\right)\right] .
\]

\begin{enumerate}
  \item Soit \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction convexe, que l'on suppose dérivable en un point \(x \in \mathbb{R}\). Montrer que pour tout \(h>0\), on a
\end{enumerate}

\[
\frac{g(x)-g(x-h)}{h} \leqslant g^{\prime}(x) \leqslant \frac{g(x+h)-g(x)}{h} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On se donne une suite \(\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), que l'on suppose convexes et dérivables. On suppose également que la suite \(\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge simplement vers une fonction \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Montrer que la fonction \(f\) est convexe.
  \item Donner un contre-exemple où la fonction \(f\) n'est pas dérivable sur \(\mathbb{R}\).
  \item On suppose que \(f\) est dérivable en un point \(x \in \mathbb{R}\). Montrer qu'on a alors
\end{enumerate}

\[
\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Soit \(g: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction convexe et de classe \(\mathscr{C}^{2}\). Montrer qu'en tout point \(x \in \mathbb{R}\), la matrice hessienne de \(g\) en \(x\) est une matrice symétrique positive.\\
Indication : Étant donné \(u \in \mathbb{R}^{d}\), on pourra considérer la fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) qui à \(t\) associe \(g(x+t u)\).
  \item Soit \(g: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^{2}\) et telle qu'en tout point \(x \in \mathbb{R}^{d}\), la matrice hessienne de \(g\) en \(x\) est symétrique positive. Montrer que la fonction \(g\) est convexe.
  \item Montrer que l'application \(\phi\) (qui apparaît dans la section de notations) est de classe \(\mathscr{C}^{2}\), et que pour tous \(i, j \in\{1, \ldots, d\}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}^{d}\), on a
\end{enumerate}

\[
\frac{\partial \phi}{\partial \lambda_{i}}(\lambda)=\frac{E\left[X_{i} e^{\lambda \cdot X}\right]}{E\left[e^{\lambda \cdot X}\right]}, \quad \text { et } \quad \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \lambda_{i} \partial \lambda_{j}}(\lambda)=\frac{E\left[X_{i} X_{j} e^{\lambda \cdot X}\right]}{E\left[e^{\lambda \cdot X}\right]}-\frac{E\left[X_{i} e^{\lambda \cdot X}\right]}{E\left[e^{\lambda \cdot X}\right]} \frac{E\left[X_{j} e^{\lambda \cdot X}\right]}{E\left[e^{\lambda \cdot X}\right]} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Montrer que la fonction \(\phi\) est convexe.
\end{enumerate}

\section*{Deuxième partie}
On se donne \(\left(\sigma_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes et telles que, pour tout \(i \in \mathbb{N}^{*}\),

\[
P\left[\sigma_{i}=1\right]=P\left[\sigma_{i}=-1\right]=\frac{1}{2} .
\]

Pour tout \(N \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(X^{(N)}=\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{N}\right)\); il s'agit d'une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{R}^{N}\) dont la première coordonnée est \(\sigma_{1}\), la deuxième coordonnée est \(\sigma_{2}\), et ainsi de suite.\\
Pour tous \(\beta, h \in \mathbb{R}\) et \(a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}\right) \in \mathbb{R}^{N}\), on définit

\[
H_{N}(\beta, h, a)=\beta\left(\sum_{i=1}^{N-1} a_{i} a_{i+1}\right)+\beta a_{N} a_{1}+h \sum_{i=1}^{N} a_{i},
\]

ainsi que

\[
Z_{N}(\beta, h)=E\left[\exp \left(H_{N}\left(\beta, h, X^{(N)}\right)\right)\right], \quad \text { et } \quad F_{N}(\beta, h)=\frac{1}{N} \ln Z_{N}(\beta, h) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Pour tous \(h \in \mathbb{R}\) et \(N \in \mathbb{N}^{*}\), montrer que \(Z_{N+1}(0, h)=\operatorname{ch}(h) Z_{N}(0, h)\), puis calculer \(F_{N}(0, h)\).
  \item Montrer que la fonction \(F_{N}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) est convexe.
\end{enumerate}

Pour les quatre questions suivantes, on fixe \(\beta \geqslant 0\) et \(h \in \mathbb{R}\).\\
11. On pose

\[
A=\left(\begin{array}{cc}
e^{\beta-h} & e^{-\beta+h} \\
e^{-\beta-h} & e^{\beta+h}
\end{array}\right) .
\]

Montrer que la matrice \(A\) admet deux valeurs propres réelles distinctes, et que la plus grande valeur propre, que l'on note \(\lambda(\beta, h)\), est donnée par la formule

\[
\lambda(\beta, h)=e^{\beta} \operatorname{ch}(h)+\sqrt{e^{2 \beta} \operatorname{ch}^{2}(h)-2 \operatorname{sh}(2 \beta)} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{11}
  \item Pour tous \(s, t \in \mathbb{R}\), on note \(B_{s, t}=\exp (\beta s t+h s)\). Montrer que, pour tout \(a \in \mathbb{R}^{N}\), on a
\end{enumerate}

\[
\exp \left(H_{N}(\beta, h, a)\right)=\left(\prod_{i=1}^{N-1} B_{a_{i}, a_{i+1}}\right) B_{a_{N}, a_{1}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item En déduire que
\end{enumerate}

\[
Z_{N}(\beta, h)=2^{-N} \operatorname{tr}\left(A^{N}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{13}
  \item Montrer que
\end{enumerate}

\[
\lim _{N \rightarrow+\infty} F_{N}(\beta, h)=\ln (\lambda(\beta, h))-\ln (2) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{14}
  \item Montrer que la fonction \(\lambda:\left[0,+\infty\left[\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\right.\right.\) est de classe \(\mathscr{C}^{\infty}\).
  \item Pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h \in \mathbb{R}\), on définit
\end{enumerate}

\[
m_{N}(\beta, h)=\frac{1}{Z_{N}(\beta, h)} E\left[\left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}\right) \exp \left(H_{N}\left(\beta, h, X^{(N)}\right)\right)\right] .
\]

Montrer que

\[
\lim _{N \rightarrow+\infty} m_{N}(\beta, h)=\frac{\partial}{\partial h} \ln (\lambda(\beta, h)) .
\]

(Le terme de droite désigne la dérivée de la fonction \(h \mapsto \ln (\lambda(\beta, h))\), calculée en \(h\). Pour répondre à cette question, on pourra penser à utiliser les résultats de questions précédentes, y compris de la première partie.)\\
17. Pour tout \(\beta \geqslant 0\), on définit la fonction

\[
g_{\beta}:\left\{\begin{aligned}
\mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\
h & \mapsto \ln (\lambda(\beta, h))-\beta .
\end{aligned}\right.
\]

Montrer que la suite de fonctions \(\left(g_{\beta}\right)_{\beta \in \mathbb{N}}\) converge simplement vers la fonction \(h \mapsto|h|\).\\
18. Identifier la limite simple de la suite \(\left(g_{\beta}^{\prime}\right)_{\beta \in \mathbb{N}}\). La convergence est-elle uniforme?

\section*{Troisième partie}
Comme dans la deuxième partie, on se donne \(\left(\sigma_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes et telles que, pour tout \(i \in \mathbb{N}^{*}\),

\[
P\left[\sigma_{i}=1\right]=P\left[\sigma_{i}=-1\right]=\frac{1}{2}
\]

Pour tout \(N \in \mathbb{N}^{*}\), on définit la variable aléatoire

\[
S_{N}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i},
\]

ainsi que l'ensemble

\[
\mathscr{M}_{N}=\left\{-1,-1+\frac{2}{N},-1+\frac{4}{N}, \ldots, 1-\frac{2}{N}, 1\right\} .
\]

Pour tous \(N \in \mathbb{N}^{*}, \beta \geqslant 0\) et \(h \in \mathbb{R}\), on définit

\[
Y_{N}(\beta, h)=E\left[\exp \left(\beta N S_{N}^{2}+h N S_{N}\right)\right], \quad \text { et } \quad G_{N}(\beta, h)=\frac{1}{N} \ln Y_{N}(\beta, h) .
\]

Enfin, on définit la fonction \(I:]-1,1[\rightarrow \mathbb{R}\) par

\[
I(x)=\frac{1+x}{2} \ln \left(\frac{1+x}{2}\right)+\frac{1-x}{2} \ln \left(\frac{1-x}{2}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{18}
  \item Montrer que la fonction \(I\) peut se prolonger par continuité en -1 et en 1.
  \item Pour chaque \(x \in \mathbb{R}\), calculer la probabilité de l'événement \(\left\{S_{N}=x\right\}\).
  \item Soit \(\left(u_{N}\right)_{N \in \mathbb{N}}\) une suite telle que pour tout \(N \in \mathbb{N}\), on a \(u_{N} \in \mathscr{M}_{N}\), et telle que \(\left.\lim _{N \rightarrow \infty} u_{N}=x \in\right]-1,1[\). Montrer que
\end{enumerate}

\[
\lim _{N \rightarrow+\infty}-\frac{1}{N} \ln P\left[S_{N}=u_{N}\right]=I(x) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{21}
  \item Montrer que pour tous \(\beta \geqslant 0, h \in \mathbb{R}\), et \(x \in \mathscr{M}_{N}\), on a
\end{enumerate}

\[
G_{N}(\beta, h) \geqslant \beta x^{2}+h x+\frac{1}{N} \ln P\left[S_{N}=x\right] .
\]

On admet que pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h \in \mathbb{R}\), la quantité \(G_{N}(\beta, h)\) converge, quand \(N\) tend vers l'infini, vers

\[
g(\beta, h)=\sup _{x \in[-1,1]}\left(\beta x^{2}+h x-I(x)\right) .
\]

Pour les trois questions suivantes, on note, pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h \in \mathbb{R}\),

\[
\psi_{\beta, h}:\left\{\begin{aligned}
{[-1,1] } & \rightarrow \mathbb{R} \\
x & \mapsto \beta x^{2}+h x-I(x) .
\end{aligned}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{22}
  \item Pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h \in \mathbb{R}\), déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\psi_{\beta, h}^{\prime \prime}(x) \leqslant 0\). (On pourra distinguer le cas \(\beta \in\left[0, \frac{1}{2}\right]\) du cas \(\beta>\frac{1}{2}\) ).
  \item Pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h>0\), montrer que la fonction \(\psi_{\beta, h}\) atteint son maximum en un unique point \(x_{*}(\beta, h)\), et que \(\left.x_{*}(\beta, h) \in\right] 0,1[\). Qu'en est-il pour \(h<0\) ?
  \item Pour \(\beta \in\left[0, \frac{1}{2}\right]\), montrer que la fonction \(\psi_{\beta, 0}\) atteint son maximum en zéro et uniquement en ce point; on pose \(x_{*}(\beta, 0)=0\) dans ce cas. Pour \(\beta>\frac{1}{2}\), montrer qu'il existe \(\left.x_{*}(\beta, 0) \in\right] 0,1\left[\right.\) tel que \(\psi_{\beta, 0}\) atteint son maximum exactement en les points \(x_{*}(\beta, 0)\) et \(-x_{*}(\beta, 0)\).
  \item On fixe \(\beta \geqslant 0\) et \(h>0\), et on se donne une suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) telle que \(\lim _{n \rightarrow \infty} v_{n}=h\). On suppose de plus que la limite
\end{enumerate}

\[
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{*}\left(\beta, v_{n}\right)
\]

existe. Montrer que cette limite est \(x_{*}(\beta, h)\).\\
À partir de maintenant, on admet que pour tout \(\beta \geqslant 0\), l'application

\[
\left\{\begin{aligned}
{[0,+\infty[ } & \rightarrow \mathbb{R} \\
h & \mapsto x_{*}(\beta, h)
\end{aligned}\right.
\]

est continue.\\
27. Montrer que pour tous \(\beta \geqslant 0\), et \(h, h^{\prime} \geqslant 0\), on a

\[
\left(h^{\prime}-h\right) x_{*}(\beta, h) \leqslant g\left(\beta, h^{\prime}\right)-g(\beta, h) \leqslant\left(h^{\prime}-h\right) x_{*}\left(\beta, h^{\prime}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{27}
  \item En déduire que pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h>0\), la fonction \(h^{\prime} \mapsto g\left(\beta, h^{\prime}\right)\) est dérivable en \(h\), et que
\end{enumerate}

\[
\frac{\partial g}{\partial h}(\beta, h)=x_{*}(\beta, h) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{28}
  \item Déterminer quelles sont les valeurs de \(\beta \geqslant 0\) pour lesquelles la fonction \(h \mapsto g(\beta, h)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
  \item Pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h>0\), identifier la limite quand \(N\) tend vers l'infini de
\end{enumerate}

\[
\frac{1}{Y_{N}(\beta, h)} E\left[\left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}\right) \exp \left(\frac{\beta}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \sigma_{i} \sigma_{j}+h \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}\right)\right] .
\]

(On pourra penser à utiliser les résultats de questions précédentes, y compris de la première partie.)\\
31. Pour tous \(\beta \geqslant 0\) et \(h>0\), montrer que \(x_{*}(\beta, h)\) satisfait l'équation

\[
x_{*}(\beta, h)=\operatorname{th}\left(h+2 \beta x_{*}(\beta, h)\right) .
\]

\begin{itemize}
  \item[32.] Montrer que
\[
\lim _{\substack{h \rightarrow 0 \\ h>0}} \frac{x_{*}\left(\frac{1}{2}, h\right)}{(3 h)^{1 / 3}}=1
\]
\end{itemize}

La quantité \(x_{*}(\beta, h)\) peut-être interprétée comme la magnétisation d'un matériau à température \(\frac{1}{\beta}\) soumis à un champ magnétique \(h\). En particulier, le changement de comportement en \(\beta=\frac{1}{2}\) met en évidence une transition de phase : une magnétisation spontanée apparaît à basse température, mais disparaît soudainement quand la température dépasse un certain seuil.


\end{document}