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\title{Epreuve de Mathématiques A }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Durée 4 h}
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

\section*{L'usage de calculatrices est interdit.}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.\\
$\underline{\text { Les quatre parties du problème sont largement indépendantes. }}$

Dans tout le problème, $n$ est un entier strictement positif, $E$ désigne un espace vectoriel réel de dimension finie $n, \mathcal{L}(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E, I_{E}$ l'identité dans $E$ et $0_{E}$ l'endomorphisme nul sur $E$.

\section*{PARTIE A}
\begin{enumerate}
  \item Dans cette question, $E$ est de dimension 2 . On considère la base $\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}\right)$ de $E$. On considère l'application linéaire $f$ ayant pour matrice, dans la base $\mathcal{B}$ :
\end{enumerate}

\[
M=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-2 & 2
\end{array}\right)
\]

(a) Montrer que $f$ est un projecteur. Quel est son rang?\\
(b) Déterminer le noyau et l'image de $f$.\\
2. Dans cette question, $E$ est de dimension 3 . On considère la base $\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)$ de $E$. $D$ désigne la droite vectorielle engendrée par le vecteur $\epsilon_{1}=e_{1}+3 e_{2}-e_{3}$ et $P$ le plan engendré par les vecteurs $\epsilon_{2}=e_{1}-e_{3}$ et $\epsilon_{3}=2 e_{1}-e_{2}$. Déterminer la matrice, dans la base $\mathcal{B}$, du projecteur sur $P$ parallèlement à $D$.\\
3. Dans cette question et jusqu'à la fin de cette partie, $p$ désignera un projecteur de $E$, où $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$. Montrer que $\operatorname{Ker}(p)$ et $\operatorname{Im}(p)$ sont supplémentaires dans $E$; on pourra écrire, pour $x \in E, x=[x-p(x)]+p(x)$.\\
4. Soit $q$ l'endomorphisme défini par : $q=I_{E}-p$. Montrer que $q$ est un projecteur de $E$. Déterminer le noyau et l'image de $q$. Calculer $p \circ q$ et $q \circ p$.\\
5. Soient $p_{1}$ et $p_{2}$ deux projecteurs de $E$ et $q=p_{1}+p_{2}-p_{2} \circ p_{1}$.\\
(a) Montrer que si $p_{1} \circ p_{2}=0_{E}$ alors $q$ est un projecteur de $E$.\\
(b) $\operatorname{Montrer}$ que $\operatorname{Ker}\left(p_{1}\right) \cap \operatorname{Ker}\left(p_{2}\right) \subset \operatorname{Ker}(q)$.\\
(c) Montrer alors que $\operatorname{Ker}\left(p_{1}\right) \cap \operatorname{Ker}\left(p_{2}\right)=\operatorname{Ker}(q)$.\\
6. L'espace vectoriel $E$ est désormais muni d'un produit scalaire $<,>$. La norme du vecteur $x \in E$ est notée $\|x\|$. Enfin, le sous-espace orthogonal d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$, sera noté $F^{\perp}$. On rappelle qu'un projecteur de $E$ est dit orthogonal lorsque son noyau et son image sont orthogonaux. Soit $p$ un projecteur de $E$.\\
(a) Montrer que si $p$ est un projecteur orthogonal alors :

\[
\forall u \in E \quad\|p(u)\| \leq\|u\|
\]

(b) Montrer que si la condition $(\star)$ est vérifiée alors $p$ est un projecteur orthogonal.

\section*{PARTIE B}
Soit $f$ un endomorphisme de $E$ qui commute avec tous les endomorphismes de $E$, c'est-à-dire :

\[
\forall g \in \mathcal{L}(E) \quad f \circ g=g \circ f
\]

\begin{enumerate}
  \item Soit $u \in E-\{0\}$. Montrer que la droite vectorielle Vect( $u$ ) possède un supplémentaire dans $E$ que l'on notera $H_{u}$. On précisera la dimension de $H_{u}$.
  \item Montrer qu'il existe un réel $\lambda_{u}$ tel que $f(u)=\lambda_{u} \cdot u$. (On utilisera le fait que le projecteur sur $\operatorname{Vect}(u)$ parallèlement à $H_{u}$, noté $p_{u}$, et $f$ commutent.)
  \item Soit $v \in E$, non colinéaire au vecteur $u$; on note $\lambda_{v}$ le réel tel que $f(v)=\lambda_{v} \cdot v$. Montrer que $\lambda_{u}=\lambda_{v}$.
  \item Reprendre la question précédente lorsque $v$ est non nul et colinéaire au vecteur $u$.
  \item En déduire quels sont les endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les endomorphismes de $E$.
\end{enumerate}

\section*{PARTIE C}
On considère ici l'espace vectoriel $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre $n \geq 2$.\\
Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, on note $\operatorname{Tr}(A)$ la somme des coefficients de la diagonale de $A$ et ${ }^{t} A$ la matrice transposée de $A$.\\
On définit l'application $\varphi$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ par :

\[
\forall(A, B) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})^{2} \quad \varphi(A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{t} B\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
  \item Soit $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, montrer que
\end{enumerate}

\[
\left|\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j}\right| \leq n \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j}^{2}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On note $\mathcal{A}_{n}$ l'ensemble des matrices antisymétriques de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_{n}$ l'ensemble des matrices symétriques de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathcal{A}_{n}$ et $\mathcal{S}_{n}$ sont deux sous-espaces orthogonaux de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
  \item On note $\Phi$ la norme associée au produit scalaire $\varphi$.
\end{enumerate}

Soit $U$ une matrice orthogonale de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, et $M$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.\\
Exprimer $\Phi(M U)$ en fonction de $\Phi(M)$.\\
5. On considère dans cette question uniquement que $n=2$. On désigne par $F$ le sousespace vectoriel de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ défini par :

\[
F=\left\{\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
b & -a
\end{array}\right) ;(a, b) \in \mathbb{R}^{2}\right\} .
\]

(a) Donner une base de $F^{\perp}$.\\
(b) Déterminer la matrice $A^{\prime}$, image de $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, par la projection orthogonale sur $F$.

\section*{PARTIE D}
On définit l'application $\psi$ de $\mathbb{R}_{3}[X]^{2}$ dans $\mathbb{R}$ par :

\[
\forall(P, Q) \in \mathbb{R}_{3}[X]^{2} \quad \psi(P, Q)=\sum_{i=0}^{3} P(i) Q(i) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $\psi$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_{3}[X]$.
  \item Soit $F=\mathbb{R}_{2}[X]$ muni de sa base canonique $\mathcal{B}=\left(1, X, X^{2}\right)$.\\
(a) Calculer $\psi(1,1), \psi(1, X), \psi\left(1, X^{2}\right), \psi(X, X), \psi\left(X, X^{2}\right)$ et $\psi\left(X^{2}, X^{2}\right)$.\\
(b) On note $\mathcal{B}^{\prime}=\left\{P_{0}, P_{1}, P_{2}\right\}$ la base orthonormale de $F$ telle que:
\end{enumerate}

\[
\forall k \in\{0,1,2\} \quad \operatorname{Vect}\left(P_{0}, \cdots, P_{k}\right)=\operatorname{Vect}\left(1, \cdots, X^{k}\right) \text { et } \psi\left(P_{k}, X^{k}\right)>0 .
\]

Déterminer explicitement les polynômes $P_{0}, P_{1}$ et $P_{2}$.\\
3 . Soit $\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1,3,2,3)$.\\
On considère l'ensemble des sommes

\[
\Sigma=\left\{\sum_{i=0}^{3}\left[x_{i}-P(i)\right]^{2}, P \in F\right\} .
\]

(a) Montrer qu'il existe un polynôme $R$, et un seul, de $\mathbb{R}_{3}[X]$ tel que :

\[
\forall i \in\{0,1,2,3\} \quad R(i)=x_{i}
\]

(b) Déterminer le projeté orthogonal du polynôme $R$ sur le sous-espace vectoriel $F$.\\
(c) Montrer alors que l'ensemble $\Sigma$ possède un minimum atteint pour un polynôme $S \in F$ et un seul. Déterminer ce minimum.


\end{document}